20个足球队参加全国冠军赛，问最少应该进行多少场比赛，才能使任何3个队中总有两个队彼此赛过？

　　答案是将20队分成两组，每组10队内部互相比赛过即可，共需90场。不理解为什么这样就是最少

　　我们换一种描述来看，或许能够帮助你理解这个问题。

　　假设有20个未着色的小球，现在你要将他染成什么样的颜色，才能保证随便取3个球就有2个颜色一样？

　　如果颜色是3种或3种以上，那么就无法保证任取都满足题意。

　　那只能是只涂一种颜色或者是只有两种颜色。

　　所以转换回来想，如果是20只球队比赛，那么要么就是混在一起单循环(一种颜色)，要么就是分成两组，组内进行单循环(两种颜色)。

　　这样你任选3支队伍，根据抽屉原理，至少总有其中两支同属于某个小组。

　　那现在问题就转化成了，全体单循环需要几场，分两个小组单循环需要多少场，怎样才是最少的方式。

　　M个队伍进行单循环赛需要的场次就是C(M,2)

　　全体单循环，就是C(20,2)=190场。想来这个是过多了，因为它提升了条件，它本质上保证了“任意两支球队都进行了比赛”，比题目中3支中至少有两支进行过比赛强的多，所以需要的场次偏多大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。

　　而分成两组的单循环，假设第一组a支队伍，第二组就是20-a，那么需要的场次就是C(a,2)+C(20-a,2)=a^2-20a+190

　　而这个函数的最小值，显然就是在a=10时取到，就是平均分为两组后进行组内单循环，一共需要90场大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。

　　考虑20个点的图，比赛过的两队之间连边。@刘昴星 的回答说明了连通块数量小于3，否则在3个连通块中各取一点则两两没有边。但是还没有说明连通块数量为1的情况最少的比赛次数。

　　可以直接数学归纳法证明n个队（n为偶数）的情况下提问者的方案对应的 是最少的比赛次数。n为2时显然成立。假设n为2(k-1)时成立，考虑n=2k时最优方案一定有2个点之间没有边，由假设知其余2k-2个点之间至少有 条边。而对于2k-2个点中任意一点都和那2个点中的至少一个有边，一共至少2k-2条边。加起来就是至少 条边。这样就证好了。

　　再来证明为了取到最少必须是这样二等分的方案。还是数学归纳法，n=2时没有边显然成立。对n=2k时任意最优方案还是拿出两个不连边的点，那么剩下2(k-1)个点形成两个团。反证一下，假设这两个点的连边方法不是各和一个团的所有点连上，那么对两个点中连边数较少的一个点，在两个团中都一定存在点和它没有连边，而两个团中间也没有连边，这样就有了不符合条件的三个点，矛盾。所以一定会形成两个等大的团。

　　如果n为奇数好像也能得到类似的结论。